Одоевский В. Ф. - Разумовскому Д. В., 15 ноября 1862 г.

Одоевский - Разумовскому

15 ноября 1862

Да Вы еще и математик, многоуважаемый Димитрий Васильевич! с Вами можно говорить математическим языком - что за благодать! да скажите: чего Вы не знаете!

На первом листке у Вас гармонические дроби гаммы, которые Вы привели в целых с дробями. Можно привести эту дробь и в целые числа.

(1) Относительно длины

Ut	re	mi	fa	sol	la	si	ut
1	8/9	4/5	3/4	2/3	3/5	8/15	1/2,

по приведении к одному знаменателю = 

по сокращении:  

(2) Относительно дрожаний, в акустике ее, обратную, изображают так:

Ut	re	mi	fa	sol	la	si
24,	27,	30,	32,	36,	40,	45,	48.

Я не поверял этого ряда, ибо предпочитаю обращаться с логарифмами.

Но и изображение дробями имеет свою выгоду, ибо дает удобство разыскать genesis гаммы, что очень важно для нашего дела.

Надобно доказать, что гамма не есть дело произвола, но выведена из естественного закона звуков.

Аликвотные части струны дают:

1/2	1/3	1/4	1/5
октава		кварта	терция

1/2 то же, что 1/4, 1/3 то же, что 1/6.

Остаются: 1/3 и 1/5,

то есть что квинта производит 3 дрожания на целую струну = 1, а терция - 5 дрожаний.

Следственно, при дрожащей струне, мы находим:

х = число дрожаний целой струны,

3х = квинта,

5х = терция.

Имея в виду, что число дрожаний второй октавы множится на 2, а 3-й - на 4, мы можем ввести все возможные величины в одну октаву.

Разделив аликвотные тоны на 2, мы получим: 3x/2 и 5x/4

то есть sol mi, предполагая основной тон Ut = 2/1.

Таким образом мы получили чистое трезвучие (reine Dreyklang).

Если мы возьмем разность между 2/1 и 3/2, то получим: 2/1: 3/2 = 4/3

4x/3 есть средняя величина между 5x/4 и 3x/4 и будет, что называют квартой, Fa.

3/2: 4/3 = 9/8

9x/8 есть среднее между х и 5x/4, то есть секунда: Re.

x = Ut

9х/8 = Re

5x/4 = Mi

4x/3 = Fa

3x/2 = Sol

Но ту же самую операцию мы можем произвести начиная с 3x/2 (Sol), для образования двух тетрахордов тождественных.

Ut: fa: : sol: Ut (M₁: Ut = 2X/1

Ut: re: : sol: La (M₂: La = 27X/16

Ut: mi: : sol: Si (- Si = 15X/8).

Итак:

NB
Ut	re	mi	fa	sol	la	si	Ut
1	9/8	5/4	4/3	3/2	27/16	15/8	2/1
NB

На полях:

(27/16 почти = 5/3 то есть разность в 1/48.

27/16 - 5/3 = 27/16 - 25/15 = ...)

Все это прекрасно; только эта гамма не та, которая ныне в употреблении; обратите внимание на La; 26/16 не 3 есть 3/5

Ut	re	mi	fa	sol	la	si	Ut
1	9/8	5/4	4/3	3/2	27/16	15/8	2/1

отличается от употребительной гаммы, как мы с Вами уверились на монохорде.

Если принять за исходный пункт квинту: Q, то есть 3/2, то получится следующий функциональный ряд:

Ut	Sol	Re(+)	La	Mi(NB)	Si	Fa#(NB)
F(Q)=	3x/2	9x/4	27x/8	81x/16	243x/32	726x/64

На полях:

(+)

3/2 x 3/2 = 9/4

9/4 x 3/2 = 27/8

и так далее.

Или по старшинству звуков:

Ut	re	mi	fa# (NB)	sol	la	si	Ut
1,	9/8,	81/16,	729/64,	3/2,	27/8,	243/32	2;

с приведением в одну и ту же октаву:

Ut	re	mi	fa	sol	la	si	Ut
1,	9/8,	5,25/4	4,5/3,	3/2,		6,5/4,	(кажется, так?).

В целых числах, принимая х = 32 и начиная с Fa, чтоб избегнуть диеза:

обыкновенная гамма:

Fa	sol	la	si	ut	re	mi	fa
32	36	40	45	48	54	60	64
по квинтовому вычитанию:
32	36	40,5	45 9/16	48	54	60 3/4	64

В акустических логарифмах Прони, где базисом принята 1/12 интервала октавы:

По вычислению чистыми квинтами:

	Ut	re	mi	fa	sol	la	si	Ut
L	0,00	2,04	4,08	4,98	7,02	9,06	11,10	12,00

Здесь мы яснее видим важную роль квинты, то есть L 7,02, ибо:

9,06 (la) - 2,04 (re) = 7,02

11,10 (si) - 4,08 (mi) = 7,02

12,00 (Ut) - 4,98 (fa) = 7,02.

Гамма образуется правильно, но эта гамма не та, которую мы теперь слышим.

в старинной гамме интервалы, в особенности La и Si, отличались от интервалов новейшей.

Мы испытаем на монохорде старинную гамму.

Ваши заметки о церковной гамме для меня драгоценны; именно тут и был у меня пробел; но я все-таки не удовлетворен: Вы указываете мне на господствующие звуки в каждом гласе; пределах каждого гласа? По господству ut и fa в первом гласе можно принять их за терции; так, что Ut предполагает в басу La, a Fa предполагает Re. Тогда будут: Re - La; но, наоборот, можно принять, что Ut есть бас для Mi и Fa - бас для La; тогда пределы 1-го гласа будут: La - Mi, что сходно с нашим первым гласом, где мелодия вращается между La и Mi (см. 1-й стих 1-го гласа в Октоихе: Господи воззвах).

Когда мы с Вами свидимся? Выбирайте день: пятницу, субботу или воскресенье - разумеется обедать в 4 1/2 часа вечера. Дайте весточку, и я уже распоряжусь, чтобы быть свободным.

Примечания

В Дневнике под этим числом читаем: "Писал к Разумовскому математическое письмо".

Вероятно, появление "математического письма" связано с работой Разумовского над статьей "О нотных безлинейных рукописях церковного знаменного пения" (см. ниже). Более подробное и внятное изложение акустической теории Одоевского относительно образования диатонической гаммы и трезвучий см. в первой главе его опубликованной в 1868 "Музыкальной грамоты..." (Бернандт, 351-368).

• Главная страница → Письма, дневники